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Suites et séries de fonctions
By Admin....
I. Types de convergence
down 1.1 Définitions
1.1.1 Convergence simple
1.1.2 Convergence uniforme
1.1.3 Convergence en moyenne
1.1.4 Convergence en moyenne quadratique
1.1.5 Remarques
down 1.2 Liens entre les divers types de convergence
down 1.3 Critères et conditions suffisantes de convergence uniforme
1.3.1 Définition générale de la convergence uniforme
1.3.2 Critère de Cauchy uniforme
1.3.3 Convergence normale
1.3.4 Critère d'Abel
1.3.5 Théorème de Dini
II. Problèmes d'interversion de limites
down 2.1 lim(lim)
2.1.1 Théorème général : lim(lim)
2.1.2 Corollaire (lim(S ))
2.1.3 Corollaire
2.1.4 Exemples
down 2.2lim(¶ )
2.2.1 Théorème (lim(¶ )
2.2.2 Corollaire (S (¶ )
2.2.3 Exemples
down 2.3 (S (S )):
2.3.1 Théorème
2.3.2 Notion de famille sommabledown 2.4 lim(ò )
2.4.1 Fonctions intégrables
2.4.2 théorème (lim(ò ))
2.4.3 Corollaires (S (ò ))
2.4.4 Corollaires (continuité d'une fonction définie par une intégrale)
down 2.5 ¶ (ò )
2.5.1 Théorème ¶ (ò )
2.5.2 Remarque
down 2.6 ò (ò )
Théorème de Fubini (¶ (¶ ))
down 2.7 (¶ (¶ ))
Théorème de Schwarz (¶ (¶ ))
III. Approximation de fonctions :
down 3.1 Meilleure approximation dans un espace vectoriel normé
3.1.1 Définition
3.1.2 Une condition suffisante d'existence d'une meilleure approximation
3.1.3 Cas de espaces préhilbertiens
3.1.4 Exemples et exercices
down 3.2 Approximation d'une fonction continue par des polynômes
3.2.1 Théorème de Weierstrass
3.2.2 Notions sur la convolution des fonctions
3.2.3 Exercices
down 3.3 Approximation par des fonctions en escalier
3.3.1 Fonctions réglées
3.3.2 Théorème (approximation des fonctions réglées par des fonctions en escalier)
3.3.3 Théorie de l'intégration des fonctions réglées
down 3.4 Approximation par des polynômes trigonométriques
3.4.1 Introduction
3.4.2 Une condition suffisante de convergence simple de la série de Fourier d'une fonction :
Théorème de Lejeune-Dirichlet
3.4.3 Corollaire : condition suffisante de convergence simple vers f de la série de Fourier de f
3.4.4 Condition suffisante de convergence uniforme vers f de la série de Fourier de f
3.4.5 Approximation uniforme par une suite de polynômes trigonométriques
3.4.6 Convergence en moyenne quadratique de la série de Fourier de f vers f
Exercices complémentaires
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I. Types de convergence
down 1.1 Définitions
1.1.1 Convergence simple
1.1.2 Convergence uniforme
1.1.3 Convergence en moyenne
1.1.4 Convergence en moyenne quadratique
1.1.5 Remarques
down 1.2 Liens entre les divers types de convergence
down 1.3 Critères et conditions suffisantes de convergence uniforme
1.3.1 Définition générale de la convergence uniforme
1.3.2 Critère de Cauchy uniforme
1.3.3 Convergence normale
1.3.4 Critère d'Abel
1.3.5 Théorème de Dini
II. Problèmes d'interversion de limites
down 2.1 lim(lim)
2.1.1 Théorème général : lim(lim)
2.1.2 Corollaire (lim(S ))
2.1.3 Corollaire
2.1.4 Exemples
down 2.2lim(¶ )
2.2.1 Théorème (lim(¶ )
2.2.2 Corollaire (S (¶ )
2.2.3 Exemples
down 2.3 (S (S )):
2.3.1 Théorème
2.3.2 Notion de famille sommabledown 2.4 lim(ò )
2.4.1 Fonctions intégrables
2.4.2 théorème (lim(ò ))
2.4.3 Corollaires (S (ò ))
2.4.4 Corollaires (continuité d'une fonction définie par une intégrale)
down 2.5 ¶ (ò )
2.5.1 Théorème ¶ (ò )
2.5.2 Remarque
down 2.6 ò (ò )
Théorème de Fubini (¶ (¶ ))
down 2.7 (¶ (¶ ))
Théorème de Schwarz (¶ (¶ ))
III. Approximation de fonctions :
down 3.1 Meilleure approximation dans un espace vectoriel normé
3.1.1 Définition
3.1.2 Une condition suffisante d'existence d'une meilleure approximation
3.1.3 Cas de espaces préhilbertiens
3.1.4 Exemples et exercices
down 3.2 Approximation d'une fonction continue par des polynômes
3.2.1 Théorème de Weierstrass
3.2.2 Notions sur la convolution des fonctions
3.2.3 Exercices
down 3.3 Approximation par des fonctions en escalier
3.3.1 Fonctions réglées
3.3.2 Théorème (approximation des fonctions réglées par des fonctions en escalier)
3.3.3 Théorie de l'intégration des fonctions réglées
down 3.4 Approximation par des polynômes trigonométriques
3.4.1 Introduction
3.4.2 Une condition suffisante de convergence simple de la série de Fourier d'une fonction :
Théorème de Lejeune-Dirichlet
3.4.3 Corollaire : condition suffisante de convergence simple vers f de la série de Fourier de f
3.4.4 Condition suffisante de convergence uniforme vers f de la série de Fourier de f
3.4.5 Approximation uniforme par une suite de polynômes trigonométriques
3.4.6 Convergence en moyenne quadratique de la série de Fourier de f vers f
Exercices complémentaires
