Analyse I pour 1ere année MI

Table des matières
1 INTRODUCTION 3
2 QUATORZE AXIOMES 5
2.1 Les axiomes de l’arithm´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 La relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 L’axiome de la borne sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 NOMBRES IRRATIONNELS 18
3.1 Raisonnements par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 SUITES NUM´ERIQUES 27
4.1 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 L’infini en analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Existence de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 S´ERIES NUM´ERIQUES 44
5.1 Convergence des s´eries num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 D´eveloppements d´ecimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 FONCTIONS CONTINUES 57
6.1 La notion de continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 PROPRI´ET´ES DES FONCTIONS CONTINUES 68
7.1 Propri´et´e des ensembles ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 Propri´et´e des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 Propri´et´e des valeurs extrˆemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4 Fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 FONCTIONS D´ERIVABLES 78
8.1 La d´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2 Calcul des d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9 PROPRI´ET´ES DES FONCTIONS D´ERIVABLES 87
9.1 Le th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2 Extremums relatifs et absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3 La r`egle de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4 La m´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10 FONCTIONS CONVEXES 110
10.1 La notion de convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.2 Fonctions d´erivables convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Table des figures
1 La droite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Bornes sup´erieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 L’intervalle |x − x0| < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Une s´erie `a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Une fonction spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 L’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 La propri´et´e des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . 71
8 Une fonction d´erivable une seule fois . . . . . . . . . . . . . . 80
9 Polynˆomes cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10 La m´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11 Une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12 Une fonction d´erivable convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 105