Accueil
[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
Matière : Séries WIKI--=> [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] - Séries numériques :
Etudier la série de terme général (STG) [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], c'est étudier la limite dessommes partielles [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. On dit que lasérie converge si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] admet une limite. Séries de référenceSoit [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Alors [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] convergesi, et seulement si, [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Cette série s'appelle série de Riemann. La GROSSE erreur à ne pas faire!!!Si la série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge, alors [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Enrevanche, ce n'est pas parce que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] tend vers 0 que la série determe général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge. Le cas de [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est frappant! Séries à termes positifsQuels sont les critères de convergence quand [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]?? On remarque que la suite des sommes partielles est croissante. Donc, elle converge si, et seulement si, elle est majorée. Ainsi :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
Sommation des relations de comparaisonBien souvent, on cherche à obtenir une valeur approchée de la limite d'une série convergente. Il faut pouvoir savoir à quelle vitesse on s'approche de la limite. Soit [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] des suites à termes positifs. On note :
Séries numériques [modifier]
Une série de terme général xn est formellement le couple formé par les deux suites [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]où pour tout entier naturel n,[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Cette suite [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est aussi appelée la « suite des sommes partielles », puisqu'à un indice n donné, Sn fait correspondre la somme des n + 1 premiers termes de [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].Ainsi, la suite des sommes partielles associée à la série de terme général xn est de la forme :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Les séries numériques sont les séries dont les termes xn sont des nombres réels ou des nombres complexes. Il existe également des séries vectorielles, dont les termes sont des vecteurs d'un certain espace vectoriel. On peut ainsi étudier par exemple des séries de matrices ou des séries de fonctions. Leurs spécificités seront indiquées plus bas.On note la série de terme général xn : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] ou [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Convergence [modifier]
La série numérique [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est dite convergente si la suite des sommes partielles [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est convergente ; sa limite S est alors appelée somme de la série, elle est notée [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], et son calcul est la sommation de la série. Dans le cas contraire, la série est dite divergente.Deux séries sont dites de même nature si elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.On parle de série absolument convergente si la série de terme général | xk | est elle-même convergente (|x| signifiant ici "valeur absolue de x" si x est un nombre réel, "module de x" si x est un nombre complexe, norme s'il s'agit d'un autre élément). Si la série est convergente sans être absolument convergente, on parle de série semi-convergente.Le fait qu'une série puisse être convergente résout beaucoup de problèmes, comme certains des paradoxes de Zénon. En revanche, il est rare qu'on sache calculer de façon explicite la somme d'une série. Hormis quelques calculs classiques, la théorie des séries a pour objectif de déterminer la nature d'une série sans calcul de la suite des sommes partielles, et éventuellement de procéder à un calcul approché de la somme.Si la série converge alors son terme général tend vers zéro. La réciproque est fausse (exemple de la série harmonique dont le terme général tend vers zéro tout en étant divergente). Si une série ne respecte pas cette condition, on dit qu'elle diverge grossièrement. Exemple de série [modifier]
La série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est convergente et sa somme vaut :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Il est possible de « visualiser » sa convergence sur la droite réelle : on peut imaginer un segment de longueur 2, que l'on découpe en segments successifs de longueurs 1, 1/2, 1/4, etc. Il y a toujours assez de place pour marquer le segment suivant, parce que la longueur restante est constamment égale à la longueur du segment qui vient d'être marqué. Lorsque nous avons marqué 1/2, il reste un morceau de longueur 1/2 non marqué, ainsi nous pouvons encore certainement marquer le prochain 1/4. Cet argument ne peut en aucune façon servir de démonstration que la somme de toutes les longueurs des segments est égale à 2, mais permet de deviner que cette somme va rester inférieure à 2 et donc que la suite des sommes partielles est croissante et majorée.Cette série est une série géométrique et on démontre sa convergence en écrivant pour tout entier naturel n, sa somme partielle au rang n :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]La suite géométrique [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] de raison 1/2 est convergente de limite nulle donc[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] Reste d'une série convergente [modifier]
Si la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est convergente, alors pour tout entier naturel n, la somme [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] existe, et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Le terme [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] s'appelle le reste d'ordre n de la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].Il est facile, par un procédé itératif, de calculer un terme de la suite des sommes partielles. La relation entre la somme partielle, la somme et le reste s'écrit[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Ainsi, si on sait borner le reste, la somme partielle peut être vue comme une valeur approchée de la somme, avec une incertitude connue. C'est le principe du calcul numérique d'une somme de série. Série et suite des termes généraux [modifier]
Il est possible de retrouver le terme général à partir de la suite des sommes partielles par les formules[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Ainsi toute somme partielle est une suite, mais toute suite est également une somme partielle (associée à la série des différences des termes consécutifs, avec un premier terme nul). Selon le cas, on aura intérêt à considérer une suite comme une somme partielle, ou inversement, selon la facilité de l'analyse des termes.Par ailleurs, si la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est convergente, alors la suite [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge vers 0. En effet, si l'on suppose que notre série converge vers une valeur S, alors on a [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. La réciproque est fausse (on peut prendre la série harmonique comme contre-exemple). Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.Exemple : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est une série grossièrement divergente, en revanche, pour [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], bien que le terme général tende vers zéro, on ne peut pas trancher sans d'autres théorèmes. Aspects historiques [modifier]
La considération de véritables sommes infinies est une question étroitement liée à celle du passage à la limite. L'absence persistante des concepts satisfaisants engendra de nombreuses interrogations et spéculations, à l'exemple des paradoxes de Zénon. On trouve néanmoins déjà chez Archimède (La quadrature de la parabole) les premières sommations explicites, avec les progressions géométriques.En Angleterre, Richard Suiseth (XIVe siècle) calcule la somme de la série de terme général n / 2n et son contemporain Nicole Oresme établit que la série harmonique (de terme général 1/n) est divergente[1]. À la même époque, le mathématicien et astronome indien Madhava est le premier à considérer des développements de fonctions trigonométriques, sous forme de séries, séries de Taylor, séries trigonométriques. Il utilise ces concepts pour des calculs d'approximation (notamment pour estimer le nombre π) et effectue des estimations de l'erreur commise. Il introduit aussi les premiers critères de convergence. Ses travaux furent poursuivis par ses successeurs de l'école du Kerala, région du sud de l'Inde, et nous sont connus par le livre Yuktibhasa[réf. nécessaire].Au XVIIe siècle, James Gregory redécouvre plusieurs de ces résultats, notamment le développement des fonctions trigonométriques en séries de Taylor et la série de Gregory permettant le calcul de π. En 1715, Brook Taylor, en donnant la construction générale des séries qui portent son nom, établit un lien fructueux avec le calcul différentiel. Au XVIIIe siècle également, Leonhard Euler établit de nombreuses relations remarquables portant sur des séries et introduit les séries hypergéométriques. Étude de la nature des séries numériques [modifier]
Calculs explicites [modifier]
Il est rare de pouvoir calculer explicitement tous les termes de la suite des sommes partielles.
Il existe un grand nombre de règles pour les séries à termes positifs. Elles sont toutes basées sur le principe de comparaison : si pour tout entier n, on a [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], alors
Exemples de référence [modifier]
Si E est un espace vectoriel normé, une série dont les termes sont à valeurs dans E est dite convergente lorsque la suite des sommes partielles converge pour la norme choisie. Si E est de dimension finie, tous les choix de normes donneront la même notion de convergence.Dans le cas des espaces de Banach, beaucoup de critères de convergence peuvent être énoncés, puisqu'il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer qu'elle converge. Cela permet fréquemment de conclure avec les outils d'étude des séries à termes positifs.Plus généralement, la notion de série peut être définie dans tout groupe abélien topologique. Séries de fonctions [modifier]
Article détaillé : Série de fonctions.
Formellement, les séries de fonctions sont simplement des séries dont le terme général appartient à un espace vectoriel de fonctions. Ainsi la fonction exponentielle est somme d'une série de fonctions puissances puisque[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Il existe de nombreuses façons non équivalentes de définir la convergence d'une telle série, comme dans le cas des suites de fonctions. Les plus classiques sont sans doute la convergence simple et la convergence uniforme. Un grand nombre de théorèmes existent détaillant, en fonction du type de convergence, s'il est possible d'effectuer des calculs tels que dérivation ou intégration de la fonction somme d'une série. Séries trigonométriques et séries de Fourier [modifier]
Article détaillé : Série de Fourier.
Les séries trigonométriques sont obtenues en sommant des fonctions sinusoïdales de fréquence n.f où f est une fréquence de référence donnée. Une question fondamentale en analyse harmonique est la possibilité de faire apparaître une fonction périodique donnée comme somme d'une série trigonométrique : sa série de Fourier. Séries entières [modifier]
Article détaillé : Série entière.
La plupart des fonctions usuelles en mathématiques peuvent être représentées localement par une série de Taylor. Ce sont des séries dont le terme général s'écrit avec une puissance d'une variable ; elles sont appelées séries entières. Mais seulement dans certains cas. Exemples :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Cette série est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Cette série est convergente pour tout nombre réel ou complexe z.Historiquement, les mathématiciens comme Leonhard Euler travaillaient librement avec les séries, même si celles-ci n'étaient pas convergentes. Lorsque les bases du calcul ont été solidement posées au dix-neuvième siècle, des démonstrations rigoureuses de la convergence des séries ont été exigées. Cependant, les calculs formels avec des séries (pas forcément convergentes) sont à l'origine des séries formelles dans les anneaux étudiés en algèbre générale.Les séries formelles sont aussi utilisées en algèbre combinatoire pour décrire et étudier certaines suites, et aussi pour les fonctions génératrices. Séries de Dirichlet [modifier]
Article détaillé : Série de Dirichlet.
Notion de sommes infinies [modifier]
Les séries ne sont que l'exemple le plus simple de formalisation de la notion de somme infinie. Il existe d'autres définitions, plus exigeantes ou au contraire plus souples. Les séries ne sont pas vraiment des sommes [modifier]
Article détaillé : Famille sommable.
Il y a dans la définition des sommes de séries convergentes un calcul de somme finie, suivi d'un passage à la limite. À cause de cette deuxième étape, l'expression « somme infinie » est incorrecte pour qualifier les séries. Une telle « somme » n'est en effet pas commutative, ni associative, ni distributive vis à vis de la multiplication. Il n'est pas possible, en général, de dériver une telle somme terme à terme par rapport à un paramètre.Les familles sommables ont des propriétés qui leur donnent beaucoup plus de titres à être qualifiées de « sommes infinies ». Alors que dans le cas des séries, on ajoute les termes dans l'ordre de succession des indices u0,u1, ... puis un, la notion de famille sommable demande d'obtenir un même résultat quel que soit l'ordre dans lequel on effectue les sommations. La propriété de commutativité par exemple est alors vraie par définition même. Procédés de sommation des séries divergentes [modifier]
Article détaillé : Série divergente.
Les procédés de sommation sont des types de convergence plus faibles permettant de définir la somme de certaines séries divergentes. Par exemple le procédé de sommation de Cesàro donne pour résultat 0 lorsqu'on somme la série[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Il est défini en calculant successivement les moyennes des n premiers termes de la suite des sommes partielles et en passant à la limite.Les autres procédés de sommation les plus classiques sont la sommation d'Abel et la sommation de Borel.
Matière : Séries WIKI--=> [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] - Séries numériques :
Etudier la série de terme général (STG) [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], c'est étudier la limite dessommes partielles [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. On dit que lasérie converge si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] admet une limite. Séries de référenceSoit [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Alors [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] convergesi, et seulement si, [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Cette série s'appelle série de Riemann. La GROSSE erreur à ne pas faire!!!Si la série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge, alors [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Enrevanche, ce n'est pas parce que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] tend vers 0 que la série determe général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge. Le cas de [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est frappant! Séries à termes positifsQuels sont les critères de convergence quand [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]?? On remarque que la suite des sommes partielles est croissante. Donc, elle converge si, et seulement si, elle est majorée. Ainsi :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
- Emploi des équivalents :
Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], alors les séries de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] sont de même nature.
Ce critère s'emploie généralement quand on a des séries assezcompliquées, on cherche un équivalent simple à l'aide dedéveloppements limités : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. - Autres relations de comparaison :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
- Règle de Cauchy :
On suppose que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], et que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Alors : - Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], la série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge.
- Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], la série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] diverge.
- Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], on ne peut pas conclure.
- Règle de D'Alembert :
On suppose que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], et que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Alors : - Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], la série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge.
- Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], la série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] diverge.
- Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], on ne peut pas conclure.
- Comparaison avec une intégrale : Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est continue par morceaux, positive, décroissante sur [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], et si on définit [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] par [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], alors la STG [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] sont de même nature. Il est bon de savoir redémontrer ce résultat, qu'on doit pouvoir retrouver à partir d'un petit dessin, et d'un encadrement de l'intégrale. C'est par exemple ainsique l'on prouve facilement la convergence ou la divergence des sériesde Riemann, ou celle des séries de Bertrand : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge ssi [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] ou [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].En outre, la comparaison à une intégrale fournit un encadrement du reste, ou des sommes partielles, qui peut être utile dans le cas où on s'intéresse à la vitesse de convergence, et à une valeur approchée de la limite :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
- Convergence absolue : A tester avant toute chose.
- Règle [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] :
- S'il existe [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] tel que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] quand [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], alors la série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge absolument.
- S'il existe [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] tel que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]quand [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], alors la série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] diverge.
- Critère des séries alternées :
On considère une série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] telle que : - [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est de signe opposé à [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].
- [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] décroît, et est de limite nulle en [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].
- Décomposition : Par des développements limités, essayer dedécomposer une série en séries plus simples, et regarder laconvergence de ces séries.
- Transformation d'Abel : C'est l'analogue de l'intégration par parties pour les intégrales impropres, et elle s'emploie pour les séries du type [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], on écrit [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], ce qui donne [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Alors :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
On conclut le plus souvent quand : - [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est borné.
- [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est absolument convergente, et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].
Sommation des relations de comparaisonBien souvent, on cherche à obtenir une valeur approchée de la limite d'une série convergente. Il faut pouvoir savoir à quelle vitesse on s'approche de la limite. Soit [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] des suites à termes positifs. On note :
| [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] | |||
- Cas de la convergence : on compare les restes. On suppose que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge :
[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] - Cas de la divergence : on compare les sommes partielles. On suppose que [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] diverge :
[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
Séries numériques [modifier]
Une série de terme général xn est formellement le couple formé par les deux suites [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]où pour tout entier naturel n,[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Cette suite [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est aussi appelée la « suite des sommes partielles », puisqu'à un indice n donné, Sn fait correspondre la somme des n + 1 premiers termes de [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].Ainsi, la suite des sommes partielles associée à la série de terme général xn est de la forme :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Les séries numériques sont les séries dont les termes xn sont des nombres réels ou des nombres complexes. Il existe également des séries vectorielles, dont les termes sont des vecteurs d'un certain espace vectoriel. On peut ainsi étudier par exemple des séries de matrices ou des séries de fonctions. Leurs spécificités seront indiquées plus bas.On note la série de terme général xn : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] ou [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Convergence [modifier]
La série numérique [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est dite convergente si la suite des sommes partielles [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est convergente ; sa limite S est alors appelée somme de la série, elle est notée [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], et son calcul est la sommation de la série. Dans le cas contraire, la série est dite divergente.Deux séries sont dites de même nature si elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.On parle de série absolument convergente si la série de terme général | xk | est elle-même convergente (|x| signifiant ici "valeur absolue de x" si x est un nombre réel, "module de x" si x est un nombre complexe, norme s'il s'agit d'un autre élément). Si la série est convergente sans être absolument convergente, on parle de série semi-convergente.Le fait qu'une série puisse être convergente résout beaucoup de problèmes, comme certains des paradoxes de Zénon. En revanche, il est rare qu'on sache calculer de façon explicite la somme d'une série. Hormis quelques calculs classiques, la théorie des séries a pour objectif de déterminer la nature d'une série sans calcul de la suite des sommes partielles, et éventuellement de procéder à un calcul approché de la somme.Si la série converge alors son terme général tend vers zéro. La réciproque est fausse (exemple de la série harmonique dont le terme général tend vers zéro tout en étant divergente). Si une série ne respecte pas cette condition, on dit qu'elle diverge grossièrement. Exemple de série [modifier]
La série de terme général [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est convergente et sa somme vaut :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Il est possible de « visualiser » sa convergence sur la droite réelle : on peut imaginer un segment de longueur 2, que l'on découpe en segments successifs de longueurs 1, 1/2, 1/4, etc. Il y a toujours assez de place pour marquer le segment suivant, parce que la longueur restante est constamment égale à la longueur du segment qui vient d'être marqué. Lorsque nous avons marqué 1/2, il reste un morceau de longueur 1/2 non marqué, ainsi nous pouvons encore certainement marquer le prochain 1/4. Cet argument ne peut en aucune façon servir de démonstration que la somme de toutes les longueurs des segments est égale à 2, mais permet de deviner que cette somme va rester inférieure à 2 et donc que la suite des sommes partielles est croissante et majorée.Cette série est une série géométrique et on démontre sa convergence en écrivant pour tout entier naturel n, sa somme partielle au rang n :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]La suite géométrique [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] de raison 1/2 est convergente de limite nulle donc[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] Reste d'une série convergente [modifier]
Si la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est convergente, alors pour tout entier naturel n, la somme [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] existe, et [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Le terme [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] s'appelle le reste d'ordre n de la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].Il est facile, par un procédé itératif, de calculer un terme de la suite des sommes partielles. La relation entre la somme partielle, la somme et le reste s'écrit[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Ainsi, si on sait borner le reste, la somme partielle peut être vue comme une valeur approchée de la somme, avec une incertitude connue. C'est le principe du calcul numérique d'une somme de série. Série et suite des termes généraux [modifier]
Il est possible de retrouver le terme général à partir de la suite des sommes partielles par les formules[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Ainsi toute somme partielle est une suite, mais toute suite est également une somme partielle (associée à la série des différences des termes consécutifs, avec un premier terme nul). Selon le cas, on aura intérêt à considérer une suite comme une somme partielle, ou inversement, selon la facilité de l'analyse des termes.Par ailleurs, si la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est convergente, alors la suite [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge vers 0. En effet, si l'on suppose que notre série converge vers une valeur S, alors on a [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. La réciproque est fausse (on peut prendre la série harmonique comme contre-exemple). Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.Exemple : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est une série grossièrement divergente, en revanche, pour [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], bien que le terme général tende vers zéro, on ne peut pas trancher sans d'autres théorèmes. Aspects historiques [modifier]
La considération de véritables sommes infinies est une question étroitement liée à celle du passage à la limite. L'absence persistante des concepts satisfaisants engendra de nombreuses interrogations et spéculations, à l'exemple des paradoxes de Zénon. On trouve néanmoins déjà chez Archimède (La quadrature de la parabole) les premières sommations explicites, avec les progressions géométriques.En Angleterre, Richard Suiseth (XIVe siècle) calcule la somme de la série de terme général n / 2n et son contemporain Nicole Oresme établit que la série harmonique (de terme général 1/n) est divergente[1]. À la même époque, le mathématicien et astronome indien Madhava est le premier à considérer des développements de fonctions trigonométriques, sous forme de séries, séries de Taylor, séries trigonométriques. Il utilise ces concepts pour des calculs d'approximation (notamment pour estimer le nombre π) et effectue des estimations de l'erreur commise. Il introduit aussi les premiers critères de convergence. Ses travaux furent poursuivis par ses successeurs de l'école du Kerala, région du sud de l'Inde, et nous sont connus par le livre Yuktibhasa[réf. nécessaire].Au XVIIe siècle, James Gregory redécouvre plusieurs de ces résultats, notamment le développement des fonctions trigonométriques en séries de Taylor et la série de Gregory permettant le calcul de π. En 1715, Brook Taylor, en donnant la construction générale des séries qui portent son nom, établit un lien fructueux avec le calcul différentiel. Au XVIIIe siècle également, Leonhard Euler établit de nombreuses relations remarquables portant sur des séries et introduit les séries hypergéométriques. Étude de la nature des séries numériques [modifier]
Calculs explicites [modifier]
Il est rare de pouvoir calculer explicitement tous les termes de la suite des sommes partielles.
- Les séries géométriques sont celles dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant (appelé raison). La série de terme général zn est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].
- Les séries télescopiques sont de la forme
Il existe un grand nombre de règles pour les séries à termes positifs. Elles sont toutes basées sur le principe de comparaison : si pour tout entier n, on a [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], alors
- si la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] converge, la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] aussi ;
- si la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] diverge, la série [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] aussi.
Exemples de référence [modifier]
- La série harmonique est la série : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Cette série est divergente. On montre en effet que quand [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image], [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] où γ est la constante d'Euler.
- La série factorielle est la série : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Cette série a pour somme e, la constante de Néper.
- Les séries de la forme :
[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] où [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] est un réel quelconque,
sont convergentes si et seulement si [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]. Ces séries sont les séries de Riemann. La fonction zêta de Riemann est la fonction qui à [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] associe la somme de cette série.
- Les séries de la forme :
Si E est un espace vectoriel normé, une série dont les termes sont à valeurs dans E est dite convergente lorsque la suite des sommes partielles converge pour la norme choisie. Si E est de dimension finie, tous les choix de normes donneront la même notion de convergence.Dans le cas des espaces de Banach, beaucoup de critères de convergence peuvent être énoncés, puisqu'il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer qu'elle converge. Cela permet fréquemment de conclure avec les outils d'étude des séries à termes positifs.Plus généralement, la notion de série peut être définie dans tout groupe abélien topologique. Séries de fonctions [modifier]
Article détaillé : Série de fonctions.
Formellement, les séries de fonctions sont simplement des séries dont le terme général appartient à un espace vectoriel de fonctions. Ainsi la fonction exponentielle est somme d'une série de fonctions puissances puisque[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Il existe de nombreuses façons non équivalentes de définir la convergence d'une telle série, comme dans le cas des suites de fonctions. Les plus classiques sont sans doute la convergence simple et la convergence uniforme. Un grand nombre de théorèmes existent détaillant, en fonction du type de convergence, s'il est possible d'effectuer des calculs tels que dérivation ou intégration de la fonction somme d'une série. Séries trigonométriques et séries de Fourier [modifier]
Article détaillé : Série de Fourier.
Les séries trigonométriques sont obtenues en sommant des fonctions sinusoïdales de fréquence n.f où f est une fréquence de référence donnée. Une question fondamentale en analyse harmonique est la possibilité de faire apparaître une fonction périodique donnée comme somme d'une série trigonométrique : sa série de Fourier. Séries entières [modifier]
Article détaillé : Série entière.
La plupart des fonctions usuelles en mathématiques peuvent être représentées localement par une série de Taylor. Ce sont des séries dont le terme général s'écrit avec une puissance d'une variable ; elles sont appelées séries entières. Mais seulement dans certains cas. Exemples :[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Cette série est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image].[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Cette série est convergente pour tout nombre réel ou complexe z.Historiquement, les mathématiciens comme Leonhard Euler travaillaient librement avec les séries, même si celles-ci n'étaient pas convergentes. Lorsque les bases du calcul ont été solidement posées au dix-neuvième siècle, des démonstrations rigoureuses de la convergence des séries ont été exigées. Cependant, les calculs formels avec des séries (pas forcément convergentes) sont à l'origine des séries formelles dans les anneaux étudiés en algèbre générale.Les séries formelles sont aussi utilisées en algèbre combinatoire pour décrire et étudier certaines suites, et aussi pour les fonctions génératrices. Séries de Dirichlet [modifier]
Article détaillé : Série de Dirichlet.
Notion de sommes infinies [modifier]
Les séries ne sont que l'exemple le plus simple de formalisation de la notion de somme infinie. Il existe d'autres définitions, plus exigeantes ou au contraire plus souples. Les séries ne sont pas vraiment des sommes [modifier]
Article détaillé : Famille sommable.
Il y a dans la définition des sommes de séries convergentes un calcul de somme finie, suivi d'un passage à la limite. À cause de cette deuxième étape, l'expression « somme infinie » est incorrecte pour qualifier les séries. Une telle « somme » n'est en effet pas commutative, ni associative, ni distributive vis à vis de la multiplication. Il n'est pas possible, en général, de dériver une telle somme terme à terme par rapport à un paramètre.Les familles sommables ont des propriétés qui leur donnent beaucoup plus de titres à être qualifiées de « sommes infinies ». Alors que dans le cas des séries, on ajoute les termes dans l'ordre de succession des indices u0,u1, ... puis un, la notion de famille sommable demande d'obtenir un même résultat quel que soit l'ordre dans lequel on effectue les sommations. La propriété de commutativité par exemple est alors vraie par définition même. Procédés de sommation des séries divergentes [modifier]
Article détaillé : Série divergente.
Les procédés de sommation sont des types de convergence plus faibles permettant de définir la somme de certaines séries divergentes. Par exemple le procédé de sommation de Cesàro donne pour résultat 0 lorsqu'on somme la série[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]Il est défini en calculant successivement les moyennes des n premiers termes de la suite des sommes partielles et en passant à la limite.Les autres procédés de sommation les plus classiques sont la sommation d'Abel et la sommation de Borel.
; take care
